Construction d'un toboggan

D'après sujet de bac général, Polynésie, 2015. 

Le directeur d’un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Voici le schéma :

Partie A : modélisation

La partie descendante du profil du toboggan est modélisée par la courbe \(\mathcal C\) représentant la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(\left[1~;~8\right]\) par \(f (x) = (ax + b)\text e^{−x}\) où \(a\) et \(b\) sont deux entiers naturels. La passerelle d'accès à la descente est modélisée sur l'intervalle \([0~;1]\) par un segment horizontal.
Le profil du toboggan et la courbe \(\mathcal C\) sont tracés ci-dessous dans un repère orthonormé dont l’unité est le mètre. 

1. Afin que le tobogan soit bien raccordé à la passerelle, on souhaite que la tangente à la courbe \(\mathcal C\) en son point d’abscisse \(1\) soit horizontale. Déterminer la valeur de l’entier \(b\).
2. Déterminer le tableau de variations de la fonction \(f\).
3. On souhaite que le haut du toboggan soit situé entre \(3{,}5\) et \(4\) mètres de haut. Donner un encadrement de \(a\) qui tienne compte de cette contrainte.
4. En déduire la valeur de l'entier \(a\).

Partie B : un aménagement pour les visiteurs

On admet dans la suite que la fonction \(f\) introduite dans la partie A est définie pour tout réel \(x\in\left[1~;~8\right]\) par \(f(x) = 10x\text e^{-x}\).
Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face. Sur son devis, il demande un forfait de \(300\) euros augmenté de \(50\) euros par mètre carré peint. La partie peinte est donnée en bleue sur le graphique ci-dessus.

1. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\left[1~;~8\right]\) par \(g(x) = 10(-x-1)\text e^{-x}\).
Déterminer la fonction dérivée de la fonction \(g\).

2. En déduire \(\displaystyle\int_1^8 f(x)\ \text dx\).

3. Conclure sur la valeur de \(\displaystyle\int_0^8 f(x)\ \text dx\) ainsi que le montant du devis de l'artiste.

Partie C : pour aller plus loin, une contrainte à vérifier

Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan.
On considère un point \(\text M\) de la courbe \(\mathcal C\), d’abscisse différente de \(1\). On appelle \(\alpha\) l’angle aigu formé par la tangente en \(\text M\) à \(\mathcal C\) et l’axe des abscisses.
La figure suivante illustre la situation.

Les contraintes imposent que l’angle \(\alpha\) soit inférieur à \(55\) degrés.

1. On note \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([1~;~ 8]\). On admet que, pour tout \(x\) de l’intervalle \([1~;~8]\), \(f'(x)=10(1-x)\text e^{-x}\).
Étudier les variations de la fonction \(f'\) sur l’intervalle \([1~;~8]\).
2. Soit \(x\) un réel de l’intervalle \(]1~;~8]\) et soit \(\text M\) le point d’abscisse \(x\) de la courbe \(\mathcal C\).
Justifier que \(\tan(\alpha) =-f'(x)\). 
3. Le toboggan est-il conforme aux contraintes imposées ?